JT引力回顾44（1 / 1）

今天继续看看JT引力，免得自己忘记。不管如何我研究近极值黑洞，得到了JT的作用量，然后我们先来研究经典解。由于dilation场没有什么动力学行为，你可以固定R等于负二，然后你的得到了AdS时空。然后我们可以换到全局的坐标系里面，你会发现有两个边界。一个是Z等于0，一个是Z等于无穷。我们需要注意的事情是这里讨论的是Lorentz的情况，如果是欧式情况，时空就会变成一个圆盘。好吧，我比较小白，记性也很差，具体细节不太清楚，但大致如此了。然后需要小心的是，是这个review里面加黑的tz是指全局坐标，和之前的tz不是一个东西。你还可以做个坐标变换到黑洞patch，然后我们可以去解dilation，再真空的情况下你可以直接解出2.42，这里有一大堆参数，我们可以用对称性先把b弄成零，然后分析量纲发现mu对应着能量。这时候你心里会想，我这个真空解能有个啥能量呢，要不直接把mu设置成零算了。所以我们需要确定可以用过物质来产生同样的效果，这样的话就可以直接把mu扔掉。

为了方便我们考虑加入的物质是CFT，你也会得到一个看起来比较简单的解。然后我们考虑一个简单的Tvv，往空间里注入能量，你代入之后确实发现了一个类似mu的项出现了。这说明确实可以扔掉真空解里的mu。那么a这个参数要不要保留呢。如果设置为零的话，在没有物质扔进来以前，Phi等于零，而在Z等于零的瞬间，Phi就忽然发散掉了。根本大佬的说法，这是不对的，所以a不能等于零，虽然这时候边界上Phi一直是发散的。后面作者讨论经典近似适用的范围，我不是很关心这里。所以先跳过吧。

然后直接来讨论边界条件，这里的讨论不太直观，我比较懵。个人理解是就考虑任何一个度规，写成UV的样子，只不过UV可能是任何二元函数。我们只要求z趋向于零的时候，度规长得像AdS，也就是说只有dudv可以活下来。所以就可以发现UV在边界上都分别只能是uv的函数。然后还得弄出发散，所以在边界的地步，U就趋向于V。然后你就可以定义F与Z，epsilon是z的截断。我们于是就得到了边界的曲线。然后我们还要求膨胀场在边界是这样发散的，这个行为和之前的真空解是一致的。把这个条件代入到之前的有物质情况下的解，我们就可以得到F的限制方程。Tmunu会确定边界曲线长的样子。如果继续用之前的例子，就会发现在没有加物质之前，边界是一条直线，加了物质之后，边界曲线向左靠近。我们扔进去的能量大小是E，所以自然会问，边界曲线如何反应了物质的交换呢？我们可以定义一个E函数，然后是一些和经典黑洞的分析比较。在边界上，U就是F，你一对比就可以得到温度，所以你可以得到温度和能量的关系，从而算出熵来。然后和霍金熵对比，发现是对的。一般情况下，你可以发现E的改变正好和Tmunu有关。

在没有Tmunu的情况下，F满足一个方程，所以你可以反推出作用量的形式。其实我们可以更直接地得到作用量的形式，只是要求根号h是1除epsilon，然后直接把JT中的边界项写下来就可以了。这里tau完全就是一个参数。F的取值范围是从负无穷到正无穷，你可以把F用小f来写，这样f的取值只需要从0到beta就可以了。我们可以要求tau长在长为beta的圆上，这样f就是圆上的重参数化而已。然后我们可以愉快地做路径积分，只不过要注意AdS2有个对称性，这里要磨掉。令人开心的事情是单圈近似算的路径积分其实就是严格解，我们可以顺利地把路径积分做出来，而且算出态密度。

然后我们考虑加点物质，如果加点自由的scalar的话，这很简单。我们要求物质场在边界的发散是某个样子，然后可以把佩芬函数写出来，这里应该是直接引用了其他文献的结果。关联函数也是好算的，甚至已经贴心地准备了费曼规则。