2+1维引力43（1 / 1）

昨天我听了一下Witten讲2+1维引力的报告，这个报告看起来已经是很久以前的了。但是我仍然能够从中获得新的东西和一个比较全面的了解。我现在知道的事情是2维的JT引力可以对偶于一个随机矩阵模型，它之所以可解的根本原因在于二维的黎曼面只有一个局部自由度，而dilationfield的引入又正好把这个自由度确定了。这样的话，JT引力可以认为是非常刚性的，只有边界的一些扭动可以对作用量有贡献。它之所以又能和随机矩阵联系是因为当你用微扰论研究随机矩阵的时候，天然会出现二维的拓扑的东西。这是因为你有双线传播子，还有一些相互作用顶点，你要收缩指标，然后就会发现N的幂次会与拓扑相关。但是三维会如何呢？三维的流形分类似乎还没有完成。

但是现在我们只研究2+1的纯爱因斯坦引力话，事情没有想象中的那么复杂。这里宇宙学常数会扮演一个重要的角色。首先来看经典解。当宇宙学常数是负的时候，我们会有一个黑洞解，也就是著名的BTZ黑洞。Witten说这个引力是平凡的，因为它没有传播的模式，所以我们会期望可以得到BTZ黑洞的完整的量子描述。这个引力之所以平凡的原因在于，当你去解爱因斯坦场方程。2+1维引力的里奇张量会正比于度规，而完整的带四个下标的里奇张量是完全由度规决定的，也就是说，这个理论的重整化完全可以通过宇宙学常数实现。所以我们不需要额外的重整化或者场的重定义了。经典来看，我们还可以把这个引力写成规范理论，然后你会得到两个陈西蒙斯理论，你从陈西蒙斯理论这里，直接就可能看出这个理论是可重整的。在1988年，Witten说规范理论在非微扰层面也是正确的，我们只要允许退化的局部vierbein就可以了。而另一位大佬Seiberg则说，在更低维的情况下，量子引力没有意义。但是2+1维引力的规范场论有个问题，那就是BTZ黑洞，这个东西被后面的AdSCFT逐渐理解了。BTZ黑洞有什么问题呢？它有一个相当大的贝根斯坦霍金熵，如果我们真的要找一个量子解释的话，就会发现这个量子理论有一个巨大的简并度，可喜的是这件事情可以通过拓扑量子场论来解释。

我们只考虑负的宇宙学常数，因为正的宇宙学常数在任何维数下，不存在一个非微扰的量子引力。另一个原因是正的宇宙学常数下，难以定义观测量。而正的宇宙学常数下，世界是不稳定的。我们只能把具有正宇宙学常数的世界，当作一个更大系统的子系统来研究才行。而宇宙学常数为零的情况就好多了，我们有一个有意义的观测量，S矩阵。如果我们不加入物质的话，这时候也不会有什么黑洞，但是没有物质也没有S矩阵。我不太理解这里Witten想要表达什么。但是总而言之，就是负的宇宙学常数很不错，我们会有一个对偶的共形场论。Brown和Henneaux表明2+1维的纯引力的希尔伯特空间等于两个Virasoro代数，其中心荷等于3l除G。注意，中心荷不能是任何的，因为根据Zamolodachikov的c定理，1+1维共形场论的c是一个常数，所以2+1维纯量子引力只在某些特殊的l除G下有意义。那么应该取哪些值呢？Witten说他没有什么好办法，但是有办法可以去尝试。首先，我们可以在原来的作用量上加一个拓扑项，这个项会让作用了发生2pi的整数倍的变化，在路径积分里这没有影响。我们就会引入一个新的常数k，所以2+1维引力其实是依赖于两个参数，l除G和k。注意我们其实有左右两套系统的，你会发现其实c只是正比于k。然后我们去研究佩芬函数，总之我们要求它是一个模形式。这里不知为何会莫名其妙地涉及到轮胎面，而轮胎面是由一个tau参数来标记的，这里的q是exp2piitau，总之我们写出了长在轮胎面的佩芬函数，这个佩芬函数收集了真空激发的东西，但是它不是模形式，说明我们必须加一点东西。差的余项的幂次正好就是k加1，这一点非常神奇。那到底怎么定出这个余项呢？我们要用一个j函数。因为tau发生一个SL变换，依旧描述同一个轮胎面，所以我们有必须用那种没有冗余的东西。那就是j函数，它与不同的轮胎面之间是一一对应的。所以佩芬函数必须要用j函数写才行，于是我们搞一个假设，用待定系数法定出系数。对于不同的k，结果会不一样。先设k等于1，则我们发现这样搞出来的佩芬函数读取出来的熵与霍金熵非常一致，只差了一些小数点。j函数的系数也和魔群的不可约表示有很大关系，所以黑洞是不是和魔群有些什么奇妙的关系，是很耐人寻味的。