第十九章 林氏数学定理（1 / 2）

老王给我出了一道题：如何用尺规作图将一个角三等分？

我寻思着这还不简单。首先以，角的顶点为圆心画弧，连接弧与角的两条边的交点，以圆规用其中一个交点做圆心，用小于交点线段长的半径画弧。

再以另一个交点做同样的步骤。这样就产生了与这个线段两个新的交点。以其中一个新的焦点，与原来一个交点做中垂线，产生一个新的交点……

一直重复下去，这线段上会产生极限的三等分点。

在连接角的顶点不就告成了吗？

我把这个结果高兴的告诉老王，他听了说不对。

我才意识到，我犯了一个很大的错误，一个等腰三角形，顶角三等分之后，对应的底边它不是三等分。

之后我才寻思着其他正确的做法。可是每种做法都不对。

后来我才知道，到目前为止还没有人能用尺规作图，把一个角三等分。

果然每次见到老王那么笑嘻嘻的说着不对的时候，他心里都打着什么算盘呢！

我知道了，一个等腰三角形顶角三等分之后对应的底边不是三等分，那么这个比是多少呢？

我开始了我的探索。

如果用三倍这个公式或者再苛刻一点，用二倍角公式以及其他三角恒等变换都是可以验证出来的。

但是我要原始。因为这样才能足够有信服力，才能证明你的几何有多么强悍。

就像当初高斯徒手把圆17等分一样，现在有很多工具把圆17等分不就轻轻松松？但是我们要真正做到的是体现自己能力和思维。

我以等腰三角形的顶点为圆心，它的腰长为半径画弧，将它的三等分线延长出去。

分别连接几个交点之后，不难发现，其中的只行相似关系。

通过我的证明，他的两边形成了两个对称的菱形。

那么这，一组边的比例怎么转化呢？

转化是一个数学里面很常用的思想。其中包含了几何之间的转化代数之间的转化，几何与代数之间的转换。再次细分还可以着重研究函数，方程不等式之间的转化等等很多种类。

转化思想是数学当中破题的很重要的思想。

我将这一组边的比例转化到平行线分线段成比例的被分线段之中，运用两次相似比转化，这样就将比例转化到了一条三等分线段上面来。

然而这么算相似比的平方算的是另一条线段所占整条线段的比，而我们所求线段占整条线段的比就是一减去这个相似比的平方。

利用相似三角形的性质，我们所求到的结果也就是这一组边的比。

总结一下：如果一个等腰三角形的顶角大小为a，那么，他的顶角三等分之后，对应的底边中间线段比旁边线段，等于1-4[sin(a/6)]^2。

我将这个过程整理成一篇论文，经过五次检查，他没有错误，我终于放松了。

周末回到家，我兴致勃勃地，第一时间，就将这个成果发到了网上。

过了一周，我收到了一封信。

我猜大体是因为我发表了这篇文章而收到的吧？这不禁让我欣喜不已，因为我做的有意义的事情得到了反响。

我充满好奇心的点开那封电子邮件，是一个叫方永的数学老师向我发来的邀请。

信上是这么说的：